Tiédir le lait 15 secondes au micro-ondes. Le verser dans le bol du robot pâtissier. Ajouter la levure émiettée. Laisser reposer 5 minutes.
Ajouter au dessus la farine, puis le sucre, le sel (pas en contact avec la levure) et pétrir avec le crochet en vitesse moyenne (vitesse 4 Kitchenaid) pendant 10 minutes. La pâte se détache du bol.
Puis ajouter le beurre coupé en dés. Pétrir encore 10 minutes en vitesse moyenne, jusqu'à ce que la pâte se détache bien du bol et que le beurre soit incorporé.
Mettre la pâte en boule au centre du bol. Le couvrir d'un film alimentaire. Laisser pousser au réfrigérateur minimum 4 heures, jusqu'à 1 nuit (j'ai testé 4h, et aussi 8 heures de pousse, les deux versions sont parfaites).
Dégazer la pâte sur le plan de travail fariné. Et étaler en un rectangle de 25 cm sur 35 cm.
A l'aide d'une cuillère, étaler le pesto sur la surface en laissant 1 cm de marge tout autour.
Couvrir de mozzarella râpée ou en cossettes.
Dans le sens de la longueur, rouler en boudin.
Couper le boudin en deux dans sa longueur.
Torsader les 2 bandes en laissant apparaître la garniture sur le dessus. Rabattre les extrémités en dessous.
Placer la babka dans un moule à cake chemisé de papier cuisson.
Laisser reposer 1 heure à température ambiante.
Préchauffer le four à 180°c, chaleur tournante 10 minutes avant la fin de pousse de la babka.La babka a monté un peu avant la fin de la pousse et montera encore lors de la cuisson : Enfourner 25 minutes (bas du four, niveau 2).
Sortir la babka du four, la retirer du moule en soulevant le papier sulfurisé. La poser sur un plat.
Laisser refroidir minimum 30 minutes avant de couper la babka. Servir en tranches.