Fondre le beurre au micro-ondes et laisser refroidir.
Dans le bol du robot, mettre la farine, le sucre cristal, la vergeoise et le sel. Mélanger lentement avec la feuille.
Ajouter l'oeuf et le rhum, continuer de mélanger quelques secondes et ajouter le beurre. Mélanger, toujours vitesse lente, jusqu'à obtention d'une pâte homogène.
Emballer cette pâte dans un film alimentaire et laisser reposer une nuit dans une pièce fraîche (pas au réfrigérateur).
Le lendemain, couper le pâton en 4. Rouler chaque portion en boudin sur une vongtaine de centimètres de longueur. Découper ensuite ce boudin en une 12 ou 13 parts. Rouler chaque petite part en boule et les déposer sur une assiette.
Remettre dans une pièce fraîche pendant au moins 4 heures, ou au réfrigérateur 1 heure.
Cuire au gaufrier, avec des plaques à gaufrettes.Graisser légèrement les plaques chaudes avant les premières gaufrettes, avec huile et papier absorbant.Pour le Lagrange Premium : position de chauffe "1" et option "croustillant" . Quand le voyant est vert, déposer 4 boules, fermer en serrant les poignées pendant quelques secondes pour bien étaler la pâte, mettre en place la pince de fermeture pour verrouiller. Ne pas retourner l'appareil ! Le voyant vert s'éteint. Dès qu'il se rallume et que le signal sonore retentit, on peut ouvrir (soit entre 2 min et 2 min 30).Pour le Frifri : je mets le thermostat en position 5 et les cuits 2 minutes. Plus ou moins longtemps, afin de les avoir plus ou moins colorées et plus ou moins dures (selon les goûts). A savoir que ces gaufres sèches sortent du gaufrier molles et durcissent très rapidement en refroidissant. Laisser refroidir chacune sur une surface plane (je les mets sur ma Roul'pat, ou sur une Silpat) pendant une quinzaine de minutes.
Puis les mettre à refroidir complètement sur une grille (facultatif)
Les conserver dans une boîte en métal.