Tiédir le lait 30 secondes au micro-ondes et y délayer la levure.
Dans le bol du robot, mettre la farine. Creuser un puits et y verser la levure délayée. Ajouter au dessus de le levure, l'oeuf puis les yaourts. Autour, répartir le sucre et le sel.
Pétrir (avec le crochet) en vitesse lente pendant 3 minutes puis ajouter le beurre froid coupé en petits dés et le rhum. Laisser pétrir 7 minutes.
Couvrir le bol et laisser reposer 1h30 à température ambiante (elle ne va pas trop monter c'est normal, la pâte gonflera lors de la cuisson).
Dégazer la pâte et la diviser en portions de 50 grammes. Les bouler puis les déposer sur une Silpat (ou papier sulfurisé à défaut).
Aplatir les boules avec la paume de la main (on obtient des cercles de 7 cm de diamètre environ).
Couvrir les pâtons d'un linge et laisser reposer 30 minutes à température ambiante ou plusieurs heures dans une pièce fraîche.
Chauffer le bain d'huile à 170°c, et plonger les beignets (2 ou 4 à la fois). Les cuire 2 minutes en les retournant à mi-cuisson (il faudra peut-être un peu plus de temps selon la cuisson de votre friteuse). Les ôter avec une écumoire et les déposer sur du papier absorbant.
Poudrer de sucre glace pour servir.